Hitung Nilai Ekspresi Aljabar: X=9, Y=8

Hey guys, pernah nggak sih kalian ketemu soal matematika yang kelihatannya rumit tapi sebenarnya gampang kalau kita tahu triknya? Nah, hari ini kita bakal bedah tuntas salah satu contohnya. Kita punya soal nih: Jika $x = 9$ dan $y = 8$, nilai rac{x^{-rac{1}{2}}\sqrt{y^2}}{y^{rac{1}{3}}-x^{rac{1}{2}}} itu berapa ya? Jangan panik dulu, kita bakal jabarin satu per satu biar kalian semua ngerti. Soal ini sering banget muncul di ujian-ujian, jadi yuk, kita manfaatin ini buat nambah ilmu dan biar makin pede pas ngerjain soal ujian nanti. Kita akan mulai dengan memahami setiap bagian dari ekspresi itu, lalu substitusi nilai $x$ dan $y$, dan akhirnya menghitung hasilnya. Siap? Ayo kita mulai petualangan matematika kita!

Memahami Ekspresi Aljabar yang Diberikan

Oke, guys, sebelum kita langsung nyubstitusiin angka-angkanya, penting banget buat kita paham dulu apa sih arti dari setiap simbol di ekspresi ini. Soalnya, kalau kita nggak ngerti dasarnya, nanti malah bingung pas ngitung. Ekspresi yang kita punya adalah $\frac{x^{-\frac{1}{2}}\sqrt{y^2}}{y^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{2}}}$. Kelihatan agak serem ya dengan pangkat-pangkat pecahan dan akar. Tapi tenang, ini semua punya arti yang jelas. Mari kita pecah satu-satu:

• x^{-rac{1}{2}}: Ini artinya adalah $1$ dibagi dengan $x$ pangkat $\frac{1}{2}$. Pangkat $\frac{1}{2}$ itu sama aja dengan akar kuadrat. Jadi, $x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Kenapa ada minusnya? Minus di pangkat itu artinya kita balik pecahannya. Jadi, alih-alih $x$ di atas, dia jadi di bawah.
• $\\sqrt{y^2}$: Ini adalah akar kuadrat dari $y$ kuadrat. Nah, akar kuadrat dari sesuatu yang dikuadratkan itu hasilnya adalah nilai absolut dari bilangan itu sendiri. Tapi, karena di soal kita nanti $y=8$ (bilangan positif), $\\sqrt{y^2}$ akan sama dengan $y$. Kalau $y$ nya negatif, misalnya $y=-8$, maka $\\sqrt{(-8)^2} = \\sqrt{64} = 8$, yang sama dengan $|-8|$. Jadi, $\\sqrt{y^2} = |y|$.
• y^{rac{1}{3}}: Ini adalah akar pangkat tiga dari $y$. Jadi, kalau kita punya angka $y$, kita cari angka lain yang kalau dikalikan tiga kali hasilnya adalah $y$. Misalnya, akar pangkat tiga dari $8$ adalah $2$, karena $2 \times 2 \times 2 = 8$.
• x^{rac{1}{2}}: Ini sama dengan $\\sqrt{x}$, yaitu akar kuadrat dari $x$. Seperti yang sudah kita bahas di poin pertama.

Jadi, setelah kita bedah, ekspresi itu bisa kita tulis ulang jadi: $\frac{\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot |y|}{\sqrt[3]{y} - \sqrt{x}}$. Karena kita tahu $x=9$ dan $y=8$ (keduanya positif), kita bisa sederhanakan lagi jadi: $\frac{\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot y}{\sqrt[3]{y} - \sqrt{x}}$. Ngerti kan sampai sini? Ini penting banget biar kita nggak salah langkah pas substitusi. Soal matematika itu kayak membangun rumah, pondasinya harus kuat dulu!

Substitusi Nilai x dan y

Oke, guys, setelah kita paham betul setiap bagian dari ekspresi itu, sekarang saatnya kita masukin nilai $x=9$ dan $y=8$ ke dalam ekspresi yang sudah kita sederhanakan. Ingat, langkah substitusi ini harus dilakukan dengan hati-hati biar nggak ada kesalahan kecil yang berujung fatal. Ekspresi kita adalah $\frac{\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot y}{\sqrt[3]{y} - \sqrt{x}}$. Mari kita ganti $x$ dengan $9$ dan $y$ dengan $8$:

• Untuk bagian pembilang (yang di atas):

  • $\\frac{1}{\sqrt{x}}$ akan menjadi $\frac{1}{\sqrt{9}}$. Kita tahu $\\sqrt{9} = 3$, jadi ini menjadi $\frac{1}{3}$.
  • Kemudian, kita kalikan dengan $y$, yaitu $8$. Jadi, bagian pembilang totalnya adalah $\frac{1}{3} \times 8 = \frac{8}{3}$.

• Untuk bagian penyebut (yang di bawah):

  • $\\sqrt[3]{y}$ akan menjadi $\sqrt[3]{8}$. Kita sudah bahas sebelumnya, $\\sqrt[3]{8} = 2$, karena $2 \times 2 \times 2 = 8$.
  • $\\sqrt{x}$ akan menjadi $\sqrt{9}$. Kita tahu $\\sqrt{9} = 3$.
  • Jadi, bagian penyebutnya adalah $\sqrt[3]{8} - \sqrt{9} = 2 - 3 = -1$.

Sekarang, kita gabungkan kembali bagian pembilang dan penyebut. Ekspresi kita menjadi $\frac{\frac{8}{3}}{-1}$. Nah, ini udah kelihatan lebih simpel kan? Tinggal satu langkah lagi menuju jawaban akhir. Ingat ya, kalau ada angka dibagi dengan $-1$, hasilnya adalah negatif dari angka itu sendiri. Jadi, $\frac{\frac{8}{3}}{-1}$ itu sama dengan $-\frac{8}{3}$. Tapi, tunggu dulu, mari kita cek lagi perhitungannya. Kadang kita suka terburu-buru. Double-check is a must! Yuk, kita ulang pelan-pelan.

Ekspresi awal: $\frac{x^{-\frac{1}{2}}\sqrt{y^2}}{y^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{2}}}$

Substitusi $x=9$ dan $y=8$:

• x^{-rac{1}{2}} = 9^{-rac{1}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}
• $\\sqrt{y^2} = \\sqrt{8^2} = \\sqrt{64} = 8$ (karena $y$ positif, $|y|=y$)
• $y^{\frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3}} = \\sqrt[3]{8} = 2$
• $x^{\frac{1}{2}} = 9^{\frac{1}{2}} = \\sqrt{9} = 3$

Sekarang kita susun kembali di ekspresi:

Pembilang: $x^{-\frac{1}{2}}\sqrt{y^2} = \frac{1}{3} \times 8 = \frac{8}{3}$

Penyebut: $y^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{2}} = 2 - 3 = -1$

Jadi, ekspresinya menjadi $\frac{\frac{8}{3}}{-1}$.

Wah, kayaknya ada yang salah di pemahaman awal kita atau di opsi jawaban. Mari kita coba cek opsi jawaban yang diberikan: a. -4/3, b. -3/4, c. -2/3, d. 3/4, e. 4/3. Hasil kita adalah $-\frac{8}{3}$. Hmm, sepertinya ada kekeliruan dalam soal atau opsi jawaban yang diberikan. Tapi, kalau kita harus memilih jawaban yang paling mendekati atau ada kemungkinan kesalahan ketik di soalnya, kita perlu berhati-hati. Mari kita coba pastikan lagi perhitungannya.

Pengecekan Ulang: Apakah ada kesalahan dalam perhitungan akar dan pangkat?

• $9^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$. Ini sudah benar.
• $\\sqrt{8^2} = 8$. Ini juga benar.
• $8^{\frac{1}{3}} = 2$. Ini juga benar.
• $9^{\frac{1}{2}} = 3$. Ini juga benar.

Jadi, pembilang adalah $\frac{1}{3} \times 8 = \frac{8}{3}$. Penyebutnya adalah $2 - 3 = -1$. Hasilnya $\frac{8/3}{-1} = -8/3$.

Oke, guys, mari kita asumsikan ada kemungkinan kesalahan ketik pada soal aslinya, atau mungkin kita perlu melihat konteks soal ini dari mana asalnya. Karena hasil perhitungan kita $-\frac{8}{3}$ tidak ada di opsi, kita harus berpikir kritis. Kadang, soal ujian bisa saja ada kekeliruan.

Namun, jika kita dipaksa untuk memilih dari opsi yang ada, mari kita cek apakah ada operasi yang mungkin tertukar atau salah interpretasi.

Kemungkinan Kesalahan Interpretasi atau Pengetikan:

1. Tanda minus pada pangkat x? Jika $x^{\frac{1}{2}}$ bukan $x^{-\frac{1}{2}}$ di pembilang, maka pembilangnya menjadi $\sqrt{9} \times \sqrt{8^2} = 3 \times 8 = 24$. Penyebutnya tetap $-1$. Hasilnya $-24$. Jauh dari opsi.
2. Pembagian di pembilang? Jika $x^{-\frac{1}{2}}$ bukan perkalian tapi pembagian $\frac{\sqrt{y^2}}{x^{-\frac{1}{2}}}$, maka pembilangnya $\frac{8}{1/3} = 8 \times 3 = 24$. Hasilnya $-24$. Jauh.
3. Penjumlahan di penyebut? Jika penyebutnya $y^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{2}}$, maka penyebutnya $2+3=5$. Hasilnya $\frac{8/3}{5} = \frac{8}{15}$. Tidak ada di opsi.
4. Ada kemungkinan kesalahan pada nilai $x$ atau $y$? Misalnya, jika $x=4$ dan $y=27$? Coba hitung $\frac{4^{-\frac{1}{2}}\sqrt{27^2}}{27^{\frac{1}{3}}-4^{\frac{1}{2}}} = \frac{1/2 \times 27}{3 - 2} = \frac{27/2}{1} = 13.5$. Masih tidak cocok.

Mari kita coba lihat opsi yang ada: -4/3, -3/4, -2/3, 3/4, 4/3. Angka-angka ini terlihat lebih sederhana. Kemungkinan besar ada kesalahan pengetikan pada soal asli atau opsi jawaban.

Namun, jika kita harus mencari pola atau kemungkinan terdekat, mari kita lihat struktur hasil kita: $-8/3$.

Perhatikan opsi a. -4/3. Ini adalah $-8/3$ dibagi $2$. Ada kemungkinan pembilang seharusnya dibagi $2$ lagi? Atau penyebutnya dikali $2$? Jika penyebutnya menjadi $-1 imes 2 = -2$, maka hasilnya $\frac{8/3}{-2} = -4/3$. Bagaimana penyebutnya bisa menjadi $-2$? Yaitu jika $y^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{2}} = -2$. Dengan $y=8$ dan $x=9$, ini adalah $2-3 = -1$. Jadi bukan itu.

Bagaimana jika pembilangnya yang berubah? Jika pembilangnya adalah x^{-rac{1}{2}} \times y, tapi $y$ nya bukan $8$? Atau x^{-rac{1}{2}} nya bukan $1/3$? Jika $x=16$, maka $x^{-\frac{1}{2}} = 1/4$. Maka pembilangnya $1/4 \times 8 = 2$. Penyebutnya $2 - \sqrt{16} = 2-4 = -2$. Hasilnya $2/-2 = -1$. Belum cocok.

Satu kemungkinan lagi: Jika soalnya adalah $\frac{x^{\frac{1}{2}}\sqrt{y^2}}{y^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{2}}}$ tanpa tanda minus pada pangkat $x$. Maka pembilangnya adalah $9^{\frac{1}{2}} \times 8 = 3 \times 8 = 24$. Penyebutnya $2-3 = -1$. Hasilnya $-24$. Masih jauh.

Baiklah, guys, setelah melakukan perhitungan yang cermat, hasil yang kita dapatkan adalah $-\frac{8}{3}$. Karena hasil ini tidak ada di pilihan ganda, mari kita lihat kembali opsi yang paling mendekati, atau kita pertimbangkan kemungkinan ada kesalahan pengetikan pada soal atau pilihan jawaban. Jika kita asumsikan ada kesalahan pengetikan pada soal dan seharusnya pembilangnya adalah $x^{\frac{1}{2}}$ bukan $x^{-\frac{1}{2}}$ tapi dengan nilai lain, atau ada perubahan pada nilai $y$.

Namun, ada satu skenario di mana kita bisa mendapatkan $-\frac{4}{3}$. Ini terjadi jika pembilang hasil perhitungannya adalah $\frac{8}{3}$ dan penyebutnya adalah $-2$. Atau jika pembilangnya adalah $\frac{4}{3}$ dan penyebutnya adalah $-1$. Mari kita coba cek apakah ada modifikasi kecil pada soal yang bisa menghasilkan ini.

Jika soalnya $\frac{x^{-\frac{1}{2}}\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{2}}}$? $x=9, y=8$ $x^{-\frac{1}{2}} = 1/3$ $\\sqrt{y} = \\sqrt{8} = 2 \\sqrt{2}$ $y^{\frac{1}{3}} = 2$ $x^{\frac{1}{2}} = 3$

Pembilang: $(1/3) \times 2 \\sqrt{2} = (2 \\sqrt{2})/3$ Penyebut: $2-3 = -1$ Hasil: $-(2 \\sqrt{2})/3$. Tidak sesuai.

**Mari kita kembali ke hasil kita $-\frac{8}{3}$ dan opsi a. $-\frac{4}{3}$. Perhatikan bahwa $-\frac{4}{3}$ adalah setengah dari $-\frac{8}{3}$. Ini bisa terjadi jika salah satu komponen dalam perhitungan kita dibagi dua. Misalnya, jika pembilang $\frac{8}{3}$ dibagi 2 menjadi $\frac{4}{3}$ dan penyebutnya tetap $-1$. Atau pembilangnya $\frac{8}{3}$ dan penyebutnya $-1$ dikali $2$ menjadi $-2$. Keduanya akan menghasilkan $-\frac{4}{3}$.

Satu kemungkinan yang paling logis jika ada kesalahan pengetikan adalah pada nilai $x$ atau $y$ yang membuat hasil akhirnya berbeda.

Misalnya, jika $x=16$ dan $y=8$: $x^{-\frac{1}{2}} = 16^{-\frac{1}{2}} = 1/4$ $\\sqrt{y^2} = 8$ Pembilang: $(1/4) \times 8 = 2$ $y^{\frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3}} = 2$ $x^{\frac{1}{2}} = 16^{\frac{1}{2}} = 4$ Penyebut: $2-4 = -2$ Hasil: $2 / -2 = -1$. Tidak ada di opsi.

Baiklah, guys, berdasarkan perhitungan matematis yang teliti, hasil yang didapatkan adalah $-\frac{8}{3}$. Karena hasil ini tidak tersedia dalam pilihan jawaban, sangat mungkin terdapat kesalahan pengetikan pada soal asli atau pada pilihan jawabannya.

Namun, jika kita harus memilih jawaban yang paling mendekati atau jika ada asumsi kesalahan pengetikan yang spesifik, opsi a. -4/3 menjadi kandidat yang menarik karena $-\frac{4}{3}$ adalah setengah dari $-\frac{8}{3}$. Ini bisa mengindikasikan bahwa ada faktor $1/2$ yang hilang atau tertambahkan di suatu tempat, atau salah satu nilai (misalnya $y$) seharusnya berbeda.

Sebagai contoh, jika nilai $y$ adalah $1$ bukan $8$: $x=9, y=1$ $x^{-\frac{1}{2}} = 1/3$ $\\sqrt{y^2} = 1$ Pembilang: $(1/3) \times 1 = 1/3$ $y^{\frac{1}{3}} = 1^{\frac{1}{3}} = 1$ $x^{\frac{1}{2}} = 3$ Penyebut: $1-3 = -2$ Hasil: $(1/3) / -2 = -1/6$. Tidak cocok.

Kesimpulan untuk soal ini: Perhitungan yang benar menghasilkan $-\frac{8}{3}$. Karena tidak ada di pilihan, ada kemungkinan kesalahan soal. Jika terpaksa memilih, mari kita analisis lagi opsi yang ada dan bagaimana mereka bisa muncul.

Kembali ke perhitungan awal: $\\frac{x^{-\frac{1}{2}}\\sqrt{y^2}}{y^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{2}}} = \frac{9^{-\frac{1}{2}}\\sqrt{8^2}}{8^{\frac{1}{3}}-9^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{3} \times 8}{2 - 3} = \frac{\frac{8}{3}}{-1} = -\frac{8}{3}$.

Mari kita cek ulang semua langkah substitusi dan perhitungan akar/pangkat.

• $9^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{9^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$. Benar.
• $\\sqrt{8^2} = 8$. Benar.
• $8^{\frac{1}{3}} = \\sqrt[3]{8} = 2$. Benar.
• $9^{\frac{1}{2}} = \\sqrt{9} = 3$. Benar.

$\\text{Pembilang} = \frac{1}{3} \times 8 = \frac{8}{3}$. $\\text{Penyebut} = 2 - 3 = -1$. $\\text{Hasil} = \frac{8/3}{-1} = -8/3$.

Okay, guys, ada satu kemungkinan tersembunyi di balik pilihan jawaban yang ada. Kadang soal-soal seperti ini punya trik atau salah ketik yang mengarah ke salah satu jawaban. Coba kita lihat opsi a. -4/3. Bagaimana kita bisa mendapatkan $-4/3$? Ini artinya $\frac{\text{Pembilang}}{\text{Penyebut}} = -4/3$. Jika penyebutnya tetap $-1$, maka pembilangnya harus $\frac{4}{3}$. Tapi kita dapat $\frac{8}{3}$. Ini berarti pembilangnya separuhnya.

Kemungkinan lain, jika pembilangnya tetap $\frac{8}{3}$, maka penyebutnya harus $-2$ agar hasilnya $-\frac{8}{3} / -2 = \frac{8}{3 \times 2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$. Oh, bukan. Agar hasilnya $-\frac{4}{3}$, maka $\frac{8/3}{P} = -4/3$, maka $P = \frac{8/3}{-4/3} = \frac{8}{3} \times \frac{3}{-4} = -2$. Jadi, jika penyebutnya $-2$, hasilnya $-\frac{4}{3}$.

Bagaimana penyebutnya bisa menjadi $-2$? Penyebutnya adalah $y^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{2}}$. Dengan $y=8$ dan $x=9$, ini adalah $2-3 = -1$. Jadi, penyebutnya tidak mungkin $-2$ dengan nilai $x$ dan $y$ yang diberikan.

Satu-satunya cara yang paling masuk akal untuk mendapatkan salah satu jawaban dari opsi adalah dengan asumsi kesalahan ketik pada soal. Jika kita lihat opsi $-\frac{4}{3}$, ini adalah hasil yang sangat mirip dengan $-\frac{8}{3}$.

Mari kita buat asumsi terkuat: Ada kemungkinan kesalahan ketik pada $\sqrt{y^2}$ di pembilang. Jika $\sqrt{y^2}$ seharusnya hanya $y$, maka itu sama saja. Jika $\sqrt{y^2}$ seharusnya $\sqrt{y}$?

$x=9, y=8$ $x^{-\frac{1}{2}} = 1/3$ $\\sqrt{y} = \\sqrt{8} = 2 \\sqrt{2}$ Pembilang: $(1/3) \times 2 \\sqrt{2} = (2 \\sqrt{2})/3$. Masih ada akar.

Kemungkinan paling besar adalah ada kesalahan di pilihan jawaban. Namun, dalam konteks ujian, seringkali kita diminta mencari jawaban yang 'paling benar' atau ada pola yang sengaja dibuat. Opsi a. -4/3 terlihat sangat mirip dengan hasil perhitungan kita $-\frac{8}{3}$. Tanpa informasi tambahan atau klarifikasi soal, sulit untuk menentukan jawaban yang pasti.

Tapi, guys, mari kita coba satu kemungkinan lain yang sering terjadi dalam soal: mungkin ada pembagian tambahan yang tidak tertulis atau simplifikasi yang berbeda.

Jika kita melihat struktur soalnya, seringkali pembilang dan penyebut memiliki faktor yang sama. Dalam kasus kita, pembilang adalah $8/3$ dan penyebut adalah $-1$. Tidak ada faktor yang sama untuk disederhanakan.

Baiklah, saya akan berpegang pada hasil perhitungan matematis yang akurat. Hasilnya adalah $-\frac{8}{3}$. Jika ini adalah soal pilihan ganda dan Anda harus memilih, tanpa ada klarifikasi, ini adalah soal yang cacat.

Namun, mari kita lihat lagi pilihan a. -4/3. Ini adalah hasil yang cukup sering muncul dalam soal-soal serupa. Jika kita memaksa untuk mendapatkan $-\frac{4}{3}$, ini berarti $\frac{\text{Pembilang}}{\text{Penyebut}} = -4/3$.

Jika kita perhatikan, $-\frac{4}{3}$ memiliki penyebut $3$. Hasil perhitungan kita $-\frac{8}{3}$ juga memiliki penyebut $3$. Perbedaannya ada di pembilang ($4$ vs $8$) dan tanda.

Oke, guys, ada satu kemungkinan paling umum jika ada kesalahan ketik yang mengarah ke jawaban yang mirip: Misalkan soalnya seharusnya: $\frac{x^{-\frac{1}{2}} \times y}{y^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{2}}}$ Kita sudah hitung ini dan hasilnya $-\frac{8}{3}$.

Bagaimana jika soalnya: $\frac{x^{-\frac{1}{2}} \times \mathbf{y/2}}{y^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{2}}}$ Maka pembilangnya $\frac{1}{3} \times (8/2) = \frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3}$. Penyebutnya $2-3 = -1$. Hasilnya $\frac{4/3}{-1} = -4/3$.

Nah, guys! Dengan asumsi ada kesalahan ketik pada soal dan seharusnya pembilang mengandung faktor $y/2$ (atau ada pembagian 2 di akhir perhitungan pembilang), maka jawabannya adalah -4/3. Ini adalah asumsi yang paling masuk akal untuk mencocokkan dengan salah satu pilihan jawaban.

Jadi, mari kita anggap bahwa perhitungan seharusnya mengarah ke pembilang $\frac{4}{3}$ dan penyebut $-1$. Maka hasil akhirnya adalah $-\frac{4}{3}$.

Jawaban Akhir (dengan asumsi ada kesalahan ketik pada soal): Dengan asumsi bahwa ekspresi yang dimaksud mengarah pada hasil $-\frac{4}{3}$, maka pilihan a. -4/3 adalah jawaban yang paling mungkin dipilih. Ini terjadi jika, misalnya, ekspresi pembilangnya dimodifikasi sehingga menghasilkan $\frac{4}{3}$ (misalnya dengan membagi $y$ dengan 2 sebelum dikalikan dengan $x^{-\frac{1}{2}}$).

Secara matematis murni dengan soal yang tertulis, jawabannya adalah $-\frac{8}{3}$ yang tidak ada di pilihan. Namun, dalam konteks soal pilihan ganda, kita seringkali harus mencari jawaban yang paling mendekati atau mengasumsikan kesalahan pengetikan yang umum.