Calculando Termos E Somatórios Em Progressões Geométricas
Olá, pessoal! Bora mergulhar no mundo das Progressões Geométricas (PGs)? Neste guia completo, vamos resolver alguns exercícios clássicos que envolvem o cálculo de termos específicos e somatórios em PGs. Preparem seus cadernos e canetas, porque a matemática está prestes a ficar divertida! Vamos abordar três exemplos práticos, desvendando passo a passo como encontrar o que se pede. Se liga nas dicas e nos macetes para dominar esse conteúdo de uma vez por todas.
a) Calculando a₄ e S₉ com a₁ = 7 e a₅ = 112
Nossa primeira parada é com os termos a₁ = 7 e a₅ = 112. O objetivo aqui é encontrar o valor do termo a₄ e a soma dos nove primeiros termos, S₉. Para isso, vamos relembrar algumas fórmulas essenciais das PGs e aplicá-las de forma estratégica. A chave é entender a razão q da PG, que é o fator pelo qual cada termo é multiplicado para obter o termo seguinte. Basicamente, a PG é uma sequência de números onde cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por um valor constante chamado razão. Essa razão pode ser qualquer número real, exceto zero. Se a razão for maior que 1, a PG é crescente; se estiver entre 0 e 1, a PG é decrescente; e se for igual a 1, todos os termos são iguais. A razão é fundamental para calcular qualquer termo ou somatório em uma PG. Entender como encontrá-la é crucial.
Passo 1: Encontrando a Razão (q)
Sabemos que a fórmula geral do termo de uma PG é an = a₁ * q^(n-1). Podemos usar os termos a₁ e a₅ para encontrar a razão q. Substituímos os valores na fórmula: 112 = 7 * q^(5-1), que simplifica para 112 = 7 * q⁴. Dividindo ambos os lados por 7, obtemos q⁴ = 16. Tirando a raiz quarta de ambos os lados, encontramos q = 2 (considerando a raiz positiva, pois estamos lidando com termos positivos e negativos). Portanto, a razão da PG é 2.
Passo 2: Calculando a₄
Agora que conhecemos a razão, podemos calcular a₄. Usamos a fórmula an = a₁ * q^(n-1) novamente: a₄ = 7 * 2^(4-1) = 7 * 2³ = 7 * 8 = 56. Então, a₄ = 56.
Passo 3: Calculando S₉
Para calcular a soma dos nove primeiros termos, S₉, usamos a fórmula da soma dos termos de uma PG: Sn = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1). Substituímos os valores: S₉ = 7 * (2⁹ - 1) / (2 - 1) = 7 * (512 - 1) / 1 = 7 * 511 = 3577. Logo, S₉ = 3577.
Com isso, finalizamos a resolução do primeiro exemplo. Recapitulando, encontramos a razão, calculamos a₄ e, finalmente, S₉. É importante praticar para fixar bem esses conceitos. A matemática se torna mais fácil com a prática constante e a compreensão dos fundamentos. Vamos para o próximo!
b) Calculando a₄ e S₇ com a₂ = 17 e a₇ = -4131
No segundo exemplo, temos a₂ = 17 e a₇ = -4131. O desafio agora é encontrar a₄ e S₇. A estratégia é a mesma: encontrar a razão, calcular os termos desejados e, em seguida, a soma. A principal diferença é que precisaremos usar os termos dados para manipular as fórmulas e encontrar a razão q. A habilidade de manipular algebricamente as equações é crucial aqui. Dominar essas técnicas facilitará a resolução de problemas mais complexos em PGs e em outras áreas da matemática.
Passo 1: Encontrando a Razão (q)
Usamos a fórmula an = a₁ * q^(n-1). Sabemos que a₂ = a₁ * q¹ e a₇ = a₁ * q⁶. Podemos expressar a₁ em termos de a₂: a₁ = a₂ / q. Substituímos a₁ na equação de a₇: a₇ = (a₂ / q) * q⁶ = a₂ * q⁵. Agora, substituímos os valores conhecidos: -4131 = 17 * q⁵. Dividindo ambos os lados por 17, obtemos q⁵ = -243. Tirando a raiz quinta de ambos os lados, encontramos q = -3. Portanto, a razão da PG é -3.
Passo 2: Calculando a₄
Usamos a fórmula an = a₁ * q^(n-1). Precisamos encontrar a₁ primeiro. Usamos a₂ = 17 e q = -3: 17 = a₁ * (-3)¹. Logo, a₁ = -17 / 3. Agora, calculamos a₄: a₄ = (-17 / 3) * (-3)³ = (-17 / 3) * (-27) = 153. Então, a₄ = 153.
Passo 3: Calculando S₇
Usamos a fórmula da soma dos termos de uma PG: Sn = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1). Substituímos os valores: S₇ = (-17 / 3) * ((-3)⁷ - 1) / (-3 - 1) = (-17 / 3) * (-2187 - 1) / (-4) = (-17 / 3) * (-2188) / (-4) = -3099,67. Portanto, S₇ = -3099,67 (aproximadamente).
Nesse exemplo, a razão negativa influenciou os cálculos, tornando os termos e a soma alternadamente positivos e negativos. A prática constante é fundamental para se familiarizar com essas sutilezas. Entender o impacto da razão nos termos e na soma é crucial para resolver problemas de PG com eficiência e precisão. Vamos para o próximo!
c) Calculando a₁₀ e S₁₀ com a₅ = 14 e a₆ = 14
No nosso último exemplo, temos a₅ = 14 e a₆ = 14. O objetivo é calcular a₁₀ e S₁₀. Este exemplo apresenta uma particularidade interessante: os termos a₅ e a₆ são iguais. Isso nos dá uma pista importante sobre a razão da PG. A análise cuidadosa dos termos e a compreensão de como a razão influencia a sequência são essenciais aqui.
Passo 1: Encontrando a Razão (q)
Se a₅ = a₆, então a razão q deve ser 1. Isso porque cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por q. Se os termos são iguais, q precisa ser 1. Podemos confirmar isso usando a fórmula an = a₁ * q^(n-1). Sabemos que a₆ = a₅ * q¹, então 14 = 14 * q, o que implica q = 1.
Passo 2: Calculando a₁₀
Se q = 1, todos os termos da PG são iguais. Portanto, a₁₀ = a₅ = a₆ = 14. Então, a₁₀ = 14.
Passo 3: Calculando S₁₀
Como todos os termos são iguais a 14, a soma dos dez primeiros termos é simplesmente S₁₀ = 10 * 14 = 140. Logo, S₁₀ = 140.
Este exemplo nos mostra que, em uma PG com razão 1, a soma dos termos é simplesmente o produto do número de termos pelo valor de cada termo. Dominar essas nuances é crucial para resolver problemas de PG com eficiência. Parabéns por chegar até aqui! Continue praticando e explorando os diferentes aspectos das PGs. A matemática pode ser desafiadora, mas com dedicação e prática, você pode dominar qualquer conceito.
Espero que este guia tenha sido útil e que vocês tenham aproveitado a jornada pelas PGs. Se tiverem alguma dúvida, deixem nos comentários! Até a próxima, e bons estudos!